全概率公式(一文秒懂全概率公式/贝叶斯公式/条件概率(2019版新教材))

全概率公式
阳光备课 教学、教研、休闲、娱乐。 147篇原创内容 --> 公众号
      在概率论与数理统计中,有两个相当重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式。然而很多人对这两个公式感到非常迷茫。一来不知道公式背后的意义所在,二来不知道这些冰冷的公式能有什么现实应用。
推荐:
1.数学教师必备 | 手机版《高中数学教学手册》 
2.新教材 | 人教A版高中数学·必修·第一册全套·教材分析·教案·课件
3.新教材 | 人教A版高中数学·必修·第二册全套·课文·教材分析·教案·课件

    把样本空间划分成容易研究的几种情况。
    全概率公式(由原因到结果)考察在每一种情况下事件B发生的概率,计算B的概率。
    Bayes公式(由结果到原因)在事件B发生的条件下,考察每种情况出现的条件概率。

【这是本文的结论,明白了的,请直接看例题】

    
1. 全概率公式
      在讲全概率公式之前,首先要理解什么是“样本空间的划分”【又称“完备事件群”。】 
我们将满足
(1)A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件;
     这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之,就是事件之间两两互斥,所有事件的并集是整个样本空间(必然事件)。

     注:全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.

例1:有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?

编外话:
     为了检查大家是否真懂公式,这里设P(A)为所求,哈哈!

     可以发现,我们在解题过程中,P(A)本身可能不好求,但我们可以根据它散落的“碎片”间接地将其求出。但不是所有情况都是能这样求出的——我们必须保证B1,B2,…,Bn,??是一个样本空间的划分(完备事件群)。
     这个也很好理解,假如你想将一个碎掉的花瓶重新还原,碎片如果不全,或者碎片之间出现了多余的“重叠”,还原工作都将以失败告终。
小结
    全概率公式问题的精髓是将复杂问题简单化
    全概率公式问题的关键是找到划分(完备事件组) 
    在实际应用中, 这个划分B1,B2,…,Bn是导致A发生的各种可能原因,P(A)是事件A分别在这些原因下发生的条件概率的加权平均。如例1中:

例2:有某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录,有以下的数据:
    设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志。
    (1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;
    (2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,分析此次品出自何厂,需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。

2.  贝叶斯公式
编外话:这个公式本身平平无奇,无非就是条件概率的定义加上全概率公式一起作出的一个推导而已。但它所表达的意义却非常深刻。 
    在全概率公式中,如果将B看成是“结果”,Ai看成是导致结果发生的诸多“原因”之一,那么全概率公式就是一个“原因推结果”的过程。但贝叶斯公式却恰恰相反。贝叶斯公式中,我们是知道结果A已经发生了,所要做的是反过来研究造成结果发生的原因,是X原因造成的可能性有多大,即“结果推原因”。

例3:对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%。每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为75%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率是多少?

    例4:某地区居民的肝癌发病率为0.0004,现用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明,化验结果是有错检的可能的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性(有病),而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性(无病)。
    现某人的检查结果呈阳性,问他真的患有肝癌的概率是多少?
    >这表明,在化验结果呈阳性的人中,真患肝癌的人不到30%。
    >当然,进一步降低错检率是提高检验精度的关键。但在实际中由于技术和操作等种种原因,降低错检率是很困难的。
    >仔细分析一下会发现检验精度低的主要原因是肝癌发病率很低。
    譬如,对首次检查呈阳性的人群再进行复查此时P(B)=0.284,这时再用贝叶斯公式计算得
这就大大提高了检验的准确率。
编外话:
      这就是为什么体验时,医生让体验者复查的原因(以后不要说数学没用啊)。

    例5:无线电通讯中发出X、Y两种信号信号.发出“X”,收到信号“X”,“不清”,“Y”的概率分别为0.7,0.2,0.1;发出信号“Y”,收到信号“X",“不清”,“Y”的概率分别为0.0,0.1,0.9.已知在发出的信号中,“X"    和“Y”出现的概率分别为0.6和0.4,试分析,当收到信号“不清”时,原发信号为“X”还是“Y”的概率哪个大?

3.条件概率

温馨提示:
       需要课件的同事,请关注阳光备课,对话框回复“中学数学”,内容会不断更新。

END



-----全文到此为止。整理不易,如果喜欢,请点下“在看”和转发到朋友圈。  
免责声明
【内容由网上搜索而来,由阳光备课整合,各部分版权归原作者所有,在此向作者致谢!摘录、转载,是想为经济欠发达地区教师提高业务水平做点事,仅此而已,如有侵权,请联系删除,谢谢!】

全概率公式相关文章

发表评论

:?: :razz: :sad: :evil: :!: :smile: :oops: :grin: :eek: :shock: :???: :cool: :lol: :mad: :twisted: :roll: :wink: :idea: :arrow: :neutral: :cry: :mrgreen: